INVERSE FUNCTION FORMULA PART 2

•  2Tan^-1x = Sin^-1( 2x/1+x² ) = Cos^-1( 1-x²/1+x² ) = Tan^-1( 2x/1-x² )

• Sin^-1x + Sin^-1y = Sin^-1( x/√1-y²+y/√1-x² )

• Sin^-1x - Sin^-1y = Sin^-1( x/√1-y²-y/√1-x² )

• Cos^-1x + Cos^-1y = Cos^-1( xy - √1-x²√1-y² )

• Cos^-1x - Cos^-1y = Cos^-1( xy + √1-x²√1-y² )

• Tan^-1x + Tan^-1y = Tan^-1( x + y/1-xy )

• Tan^-1x - Tan^-1y = Tan^-1( x - y/1+xy )

• Tan^-1x + Tan^-1y + Tan^-1z = Tan^-1( x + y + z/1-xy-yz-zx )

 

 

 

 

 

 

 

MENSURATION (क्षेत्रमिति) FOR CLASS (6th TO 10th)

 

MENSURATION (2D) 

 1. वृत :- 

यदि वृत की त्रिज्या r सेमी. हो तो, 

• वृत का व्यास D = 2r  सेमी.
• वृत की परिधि =  2𝜋r  सेमी. 
• वृत का क्षेत्रफल 𝐴 = 𝜋r² वर्ग सेमी.

 2.त्रिभुज :-

यदि समकोण त्रिभुज की ऊँचाई h सेमी. और आधार b  सेमी. हो तो, 

• त्रिभुज का कर्ण l = (√h² + r²) सेमी.
• त्रिभुज का क्षेत्रफल 𝐴 = 1/2(l*b) वर्ग सेमी.
  

यदि समबाहु त्रिभुज की भुजा a सेमी. हो तो,

• त्रिभुज का क्षेत्रफल 𝐴 = (√3/4). a² वर्ग सेमी.

यदि विषमबाहु त्रिभुज की भुजा a सेमी. , b सेमी. ,c सेमी.हो तथा परिमाप s हो तो,

• त्रिभुज का परिमाप s = 1/2.(a+b+c) सेमी.
• त्रिभुज का क्षेत्रफल 𝐴 = (√s(s-a)(s-b)(s-c)  वर्ग सेमी.

 3. वर्ग :- 

यदि वर्ग की भुजा a सेमी. हो तो, 

• वर्ग का परिमाप = 4a सेमी.
• वर्ग का विकर्ण =  √2 a सेमी.
• वर्ग का क्षेत्रफल 𝐴 = a² वर्ग सेमी.

4. आयत :- 

यदि आयत की लम्बाई l सेमी. और चौड़ाई b सेमी. हो तो, 

• आयत का परिमाप = 2(l+b)  सेमी.
• आयत का विकर्ण =  √(l² + b²) सेमी.
• आयत का क्षेत्रफल 𝐴 = l*b वर्ग सेमी.

MENSURATION (3D)

 1. घन :- 

यदि घन की भुजा a सेमी. हो तो, 

• घन का आयतन  = a³ घन सेमी.
• घन का वक्र पृष्ठ =  4a² वर्ग सेमी.
• घन का सम्पूर्ण पृष्ठ =  6a² वर्ग सेमी.
• घन की भुजा = (आयतन)^1/3 सेमी.
• घन का विकर्ण =  √3 a सेमी.

 2.घनाभ :-

यदि घनाभ की लम्बाई l, और चौड़ाई b, ऊँचाई h सेमी. हो तो, 

• घन का आयतन  = l*b*h घन सेमी.
• घन का वक्र पृष्ठ = 2(l+B)*h वर्ग सेमी.
• घन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 2(lb+bh+hl) वर्ग सेमी.
• घन की भुजा = (आयतन)^1/3 सेमी.
• घन का विकर्ण =  √(l² + b² + h²) सेमी.  

  3. लंबवृत्तीय बेलन :- 

  यदि बेलन की त्रिज्या r और ऊँचाई h सेमी. हो तो,  

  •  बेलन के आधार का व्यास D = 2r  सेमी.
  •  बेलन के आधार की परिधि =  2𝜋r  सेमी.
  • बेलन के आधार का क्षेत्रफल 𝐴 = 𝜋r² वर्ग सेमी.
  • बेलन का आयतन  =  𝜋r²h घन सेमी.
  • बेलन का वक्र पृष्ठ  =  2𝜋rh वर्ग सेमी.
  • बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 2𝜋r(h+r) वर्ग सेमी.  
  • 4. लंबवृत्तीय शंकु :- 

  • यदि शंकु की त्रिज्या r और ऊँचाई h , तिर्यक लम्बाई l सेमी. हो तो,  

  •  बेलन के आधार का व्यास D = 2r  सेमी.
  •  बेलन के आधार की परिधि =  2𝜋r  सेमी.
  • बेलन के आधार का क्षेत्रफल 𝐴 = 𝜋r² वर्ग सेमी.
  • बेलन का आयतन  =  1/3 𝜋r²h घन सेमी.
  • बेलन का वक्र पृष्ठ  =  𝜋rl वर्ग सेमी.
  • बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 𝜋r(l+r) वर्ग सेमी.
  • बेलन की तिर्यक लम्बाई l = √(l² + r²) सेमी.

  5. गोला :- 

  यदि गोले की त्रिज्या r सेमी. हो तो,  

•  गोले का व्यास D = 2r  सेमी.
• बेलन का आयतन  =  1/3 𝜋r³ घन सेमी.
• बेलन का वक्र पृष्ठ  =  4𝜋r² वर्ग सेमी.
• बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 4𝜋r² वर्ग सेमी.
  

  • 6. अर्द्ध गोला :-
    

    यदि गोले की त्रिज्या r सेमी. हो तो,  

  •  गोले का व्यास D = 2r  सेमी.
  • बेलन का आयतन  = 2/3 𝜋r³ घन सेमी.
  • बेलन का वक्र पृष्ठ  = 2𝜋r² वर्ग सेमी.
  • बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 3𝜋r² वर्ग सेमी.

Trigometric Inverse Functions Formula

 

Sin^-1𝜽  = 1/ Cosec^-1𝜽       OR     Cosec^-1𝜽 = 1/  Sin^-1𝜽 

Sec^-1𝜽  = 1/ Cos^-1𝜽       OR     Cos^-1𝜽 = 1/  Sec^-1𝜽 

Tan^-1𝜽  = 1/ Cot^-1𝜽       OR     Cot^-1𝜽 = 1/  Tan^-1𝜽 

 Sin^-1(-𝜽) = Sin^-1𝜽

Cos^-1(-𝜽) = 𝝅 - Cos^-1𝜽 

Tan^-1(-𝜽) = -Tan^-1𝜽

Sin^-1(Sin𝜽) = 𝜽,   Cos^-1(Cos𝜽) = 𝜽 

Tan^-1(Tan𝜽) = 𝜽,  Cot^-1(Cot𝜽) = 𝜽  

Sec^-1(Sec𝜽) = 𝜽,   Cosec^-1(Cosec𝜽) = 𝜽

  Equations:-

Sin^-1𝜽 + Cos^-1𝜽  = 𝝅/𝟐
Tan^-1𝜽 + Cot^-1𝜽  = 𝝅/𝟐
Sec^-1𝜽 + Cosec^-1𝜽 = 𝝅/𝟐

Sin^-1x = Cos^-1√𝟏-x = Tan^-1(x/√𝟏-x² )

Cos^-1x = Sin^-1√𝟏-x = Tan^-1(√𝟏-x²/x )

Tan^-1x = Sin^-1(x/√𝟏+x²) = Cos^-1(1/√𝟏+x²)

2Sin^-1x = Sin^-1(2x.√𝟏-x²) 

2Cos^-1x = Cos^-1(2x²-1x²) 

2Tan^-1x = Sin^-1(2x/𝟏+x²) = Cos^-1()1/√𝟏+x²